Question

Cho x,y,z là các số thực tm \(\dfrac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=1\).Tìm MIN,MAX \(P=x+y+z\)

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM thì:

$1=\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=\frac{3}{2}x^2+(y+z)^2-yz\geq \frac{3}{2}x^2+(y+z)^2-\frac{(y+z)^2}{4}=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$P^2=(x+y+z)^2\leq [\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2](\frac{2}{3}+\frac{4}{3})\leq 1.2$

$\Leftrightarrow P^2\leq 2$

$\Rightarrow -\sqrt{2}\leq P\leq \sqrt{2}$

Vậy $P_{\min}=-\sqrt{2}$ tại \((x,y,z)=(\frac{-\sqrt{2}}{3};\frac{-\sqrt{2}}{3}; \frac{-\sqrt{2}}{3}) \)

$P_{\max}=\sqrt{2}$ tại \((x,y,z)=(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3})\)