Question

Cho x,y,z đôi một khác nhau và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\). Tính giá trị biểu thức:

A=\(\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{xz}{y^2+2xz}+\dfrac{xy}{z^2+2xy}\)

Answer 1

Lời giải:

Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

Suy ra \(yz=-xy-xz\)

\(\Rightarrow x^2+2yz=x^2+yz-xy-xz=x(x-y)-z(x-y)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2yz=(x-z)(x-y)\)

\(\Rightarrow \frac{yz}{x^2+2yz}=\frac{yz}{(x-z)(x-y)}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(A=\frac{yz}{(x-y)(x-z)}+\frac{xz}{(y-x)(y-z)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}\)

\(A=\frac{-yz(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}+\frac{-xz(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}+\frac{-xy(x-y)}{x-y)(y-z)(z-x)}\)

\(A=\frac{xy^2+yz^2+zx^2-(x^2y+y^2z+z^2x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}\)

\(A=\frac{xy^2+yz^2+zx^2-(x^2y+y^2z+z^2x)}{xy^2+yz^2+zx^2-(x^2y+y^2z+z^2x)}=1\)