Cách làm:
(1+x4)(1+y4)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
\(\left[1+\left(x^2\right)^2\right]+\left[x+\left(y^2\right)^2\right]\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\left[1+\left(x^2\right)\right]^2+\left[1+\left(y\right)^2\right]^2\ge\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2\)
Để đạt Min thì \(\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]\)
Đặt xy=t, ta có:
\(P=\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)+4\left(xy-1\right)+\left(3xy-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left[\left(x+y\right)^2-2t\right]^2+4\left(t-1\right)+\left(3t-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left(4-2t\right)^2+\left(4t-4\right)\left(3t-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P=16-16t+4t^2+12t^2-16t+4\)
\(\Leftrightarrow P=16t^2-32t+16+4\)
\(\Leftrightarrow P=\left(4t-4\right)^2+4\)
Ta có: \(\left(4t-4\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(4t-4\right)^2+4\ge4\)
\(\Rightarrow Min_P=4\)
@Phương An
\(P=\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)+4\left(xy-1\right)\left(3xy-1\right)\)
Vì \(\left(1+x^4\right)\ge1;\left(1+y^4\right)\ge1\) => Để \(P_{min}\Leftrightarrow4\left(xy-1\right)\left(3xy-1\right)\)
\(\Rightarrow4\left(xy-1\right)\left(3xy-1\right)=0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)=0\)
Mà \(x+y=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left(xy-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(1+1^4\right)\cdot\left(1+1^4\right)+4\cdot\left(1\cdot1-1\right)\left(3\cdot1\cdot1-1\right)\)
\(\Rightarrow2\cdot2+0\)
\(\Rightarrow P_{min}=4\)
x+y=2
=> Cho x=1 và y=1 (nhỏ nhất)
Thay vào P, kết quả là 4.
P/s: đây là ý kiến riêng của mik để làm bài violympic nhanh nhất có thể, còn kq bài này mik ko chắc :)
Vậy hả? Cho mik xin lỗi nha :( mik hông bik cách giải :((
Cách làm violympic: Dễ thấy x và y tương xứng với nhau, => x=y
Thay vào P=4