Question

cho tứ giác ABCD có AB= a, CD=c , AB=BC. góc  ADC+ góc DCB= 90 độ. Goị M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD VÀ BD. chứng minh diện tích MNPQ \(\ge\) \(\frac{\left(a-c\right)^2}{8}\)

Answer 1

Bạn cần thêm điều kiện AB = AD .

Gọi K là trung điểm của AD. Dễ dàng chứng minh được MNPQ là hình vuông 

Suy ra : \(S_{MNPQ}=\frac{NQ^2}{2}\)

Mặt khác, ta luôn có : \(KQ+QN\ge KN\) \(\Rightarrow QN\ge\left|KN-KQ\right|=\frac{1}{2}\left|c-a\right|\)

\(\Rightarrow QN^2\ge\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\Rightarrow S_{MNPQ}=\frac{QN^2}{2}\ge\frac{\left(c-a\right)^2}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi M , Q, N thẳng hàng => AB // CD