Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông ABE và ACF vuông ở B và C. Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh:
a) tam giác ABI và tam giác BEC bằng nhau
b) BI bằng CE và vuông góc với CE
c) Ba đường thẳng AH , CE , BF đồng quy
mong nhận được sự giúp đỡ của thầy cô và các bạn
a) Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC tại M.
Ta có: \(\widehat{EBM}+90^o+\widehat{ABH}=180^o\)
=> \(\widehat{EBM}+\widehat{ABH}=90^o\) (1)
Mặt khác, trong tam giác BAH vuông tại H, có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\) (2)
Từ 1 và 2 => \(\widehat{EBM}=\widehat{BAH}\) => \(180^o-\widehat{EBM}=180^o-\widehat{BAH}=>\widehat{EBC}=\widehat{BAI}\)
Xét tam giác EBC và tam giác BAI, có:
EB=AB
\(\widehat{EBC}=\widehat{BAI}\)
BC=AI
=> \(\Delta EBC=\Delta BAI\left(c.g.c\right)\)=> \(\widehat{PIQ}=\widehat{QCH}\)(góc tương ứng)
b) Do tam giác EBC= tam giác BAI nên BI=EC( cạnh tương ứng)
*) Trong tam giác IPQ có: \(\widehat{PIQ}+\widehat{IOP}+\widehat{IPQ}=180^o\)(3)
*) Trong tam giác QHC có: \(\widehat{HQC}+\widehat{QCH}+\widehat{CHQ}=180^o\) (4)
=> \(\widehat{PIQ}+\widehat{IOP}+\widehat{IPQ}=\)\(\widehat{HQC}+\widehat{QCH}+\widehat{CHQ}\)
Mà : \(\widehat{PIQ}=\widehat{QCH}\)
\(\widehat{IOP}=\widehat{HQC}\) (góc đối đỉnh)
=> \(\widehat{IPQ}=\widehat{CHQ}=90^o\)
Vậy IB vuông góc với EC và cắt nhau tại P.c) Nối I với C. điểm giao nhau của IC và BF là TTương tự câu a và câu b thì IC cũng vuông góc BFTrong tam giác IBC thì có: 3 đường cao là: IH;CP;BT => 3 cạnh này cắt nhau tại 1 điểm => Ba đường thẳng AH , CE , BF đồng quy