a) Ta có: AB=AC(do ΔABC cân tại A)
mà \(AD=DB=\frac{AB}{2}\)(do D là trung điểm của AB)
và \(AE=EC=\frac{AC}{2}\)(do E là trung điểm của AC)
nên AD=DB=AE=EC
Xét ΔABE và ΔACD có
AE=AD(cmt)
\(\widehat{A}\) chung
AB=AC(do ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔABE=ΔACD(c-g-c)
b) Xét ΔADE có AE=AD(cmt)
nên ΔADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{ADE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔADE cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{ABC}\)là hai góc ở vị trí đồng vị
nên DE//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
c) Ta có: \(\widehat{ACD}+\widehat{BCD}=\widehat{ACB}\)(do CD nằm giữa hai tia CA,CB)
\(\widehat{ABE}+\widehat{CBE}=\widehat{ABC}\)(do BE nằm giữa hai tia BA,BC)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
và \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)(ΔABE=ΔACD)
nên \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\)
mà \(DC\cap BE=\left\{K\right\}\)
nên \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)
Xét ΔKBC có \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)(cmt)
nên ΔKBC cân tại K(dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
d) Ta có: CK+KD=CD(do C,K,D thẳng hàng)
BE=BK+KE(do B,K,E thẳng hàng)
mà BE=DC(ΔABE=ΔACD)
và KB=KC(do ΔKBC cân tại K)
nên DK=KE
Xét ΔDAK và ΔEAK có
AD=AE(cmt)
AK là cạnh chung
DK=KE(cmt)
Do đó: ΔDAK=ΔEAK(c-c-c)
⇒\(\widehat{DAK}=\widehat{EAK}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AK nằm giữa hai tia AD,AE
nên AK là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\)
hay AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(do B∈AD,C∈AE)(đpcm)