Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường thẳng (d) đi qua A và song song với đường thẳng BC , BH vuông góc với (d) tại H.
a, Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAB
b, Gọi K là hình chiếu của C trên (d). chứng minh AH.AK=BH.CK
c, Gọi M là giao điểm của 2 đoạn thẳng AB và CH. Tính độ dài đoạn thẳng HA diện tích tam giác MBC , khi AB =3cm, AC=4cm, BC=5cm.
a) vì KH // BC và BH ⊥ KH ⇒ BC ⊥ BH
\(\widehat{HBA}+\widehat{CBA}=90^0;\widehat{CBA}+\widehat{C}=90^0\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{C}\left(1\right)\)
xét △ABC và △HAB có
(1); \(\widehat{H}=\widehat{A}\)
⇒ △ABC ~ △HAB(g - g)
b) ta có \(\widehat{CAK}+\widehat{BAH}=90^0;\widehat{KCA}+\widehat{KAC}=90^0\)
⇒ \(\widehat{BAH}=\widehat{KCA}\) (2)
xét △KCA và △HAB có
(2); \(\widehat{K}=\widehat{H}=90^0\)
⇒ △KCA ~ △HAB (g - g)
⇒ \(\frac{KA}{BH}=\frac{CK}{AH}\) ⇒ AH.AK = BH.CK
c) từ câu a) ⇒ \(\frac{AB}{AH}=\frac{BC}{AB}\)
⇒ AH = \(\frac{9}{5}\left(cm\right)\)
xét △AMH và △BMC có
\(\widehat{BMC}=\widehat{AMH}\)(đối đỉnh); \(\widehat{CBM}=\widehat{MAH}\)(BC//KH)
⇒ △BMC ~ △AMH (g - g)
⇒ \(\frac{BM}{AM}=\frac{BC}{AH}\Rightarrow\frac{BM}{BC}=\frac{AM}{AH}=\frac{3}{6,8}=\frac{15}{34}\)
⇒ AM = \(\frac{27}{34}\)(cm)
⇒ SAMC = \(\frac{27}{17}\left(cm^2\right)\)
SABC = 6 (cm2)
⇒ SBMC = SABC - SAMC = \(\frac{75}{17}\left(cm^2\right)\)