Question

Cho tam giác ABC vuông tại A vẽ đường cao AH, AB=6 cm, AC=8 cm

a C/m tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

b Tính BC, AH, BH

c Chứng minh AH.AH=HB.HC

d Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H lên cạnh AB, AC

Chứng minh AI.AB=AK.AC

Answer 1

a.

Xét tam giác HBA và tam giác ABC có:

góc H = A= 90^o

góc B chung

Do đó: tam giác HBA~ABC(g.g)

b.

Ta có tam giác ABC vuông tại A

=> BC² = AB² + AC²

=> BC² = 6² + 8²

=> BC = 10 (cm)

Ta có tam giác HBA~ABC

=> \(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow HA=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8cm\)

Tam giác ABH vuông tại H

=> AB² = AH² + BH²

=> BH² = AB² - AH²

=> BH² = 6² - 4,8²

=> BH² = 3,6 cm

c. Xét tam giác HBA và tam giác HAC có:

góc H = 90^o

góc HBA = HAC ( cùng phụ góc C)

Do đó: tam giác HBA~HAC( g.g)

=> \(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\Rightarrow AH.AH=HB.HC\)

d.

Ta có:

góc I = K = A = 90^o

=> AIHK là hình chữ nhật

=> IH = AK; IA = HK

Ta có tam giác HBA~ABC

=> \(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\) hay \(\dfrac{IK}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\)

Xét tam giác IBH và tam giác ABC có:

góc I = A = 90^o

góc B chung

Do đó: tam giác IBH~ABC (g.g)

=> \(\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BH}{BC}\Rightarrow IH=\dfrac{BH.AC}{BC}=\dfrac{3,6.8}{10}=2,88\)

HC = 10 - HB = 10- 3,6 = 6,4 (cm)

Xét tam giác KHC và tam giác ABC có:

góc K = A = 90^o

góc C chung

Do đó: tam giác KHC~ABC (g.g)

=> \(\dfrac{KH}{AB}=\dfrac{HC}{BC}\Rightarrow KH=\dfrac{AB.HC}{BC}=\dfrac{6.6,4}{10}=3,84\) (cm)

Ta có:

\(\dfrac{IH}{KH}=\dfrac{2,88}{3,84}=\dfrac{3}{4};\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\dfrac{IH}{KH}=\dfrac{AB}{AC}\)

mà \(\dfrac{IH}{KH}=\dfrac{AK}{AI}\Rightarrow\dfrac{AK}{AI}=\dfrac{AB}{AC}\)

=> AI.AB = AK.AC

Answer 2

bạn tự vẽ hình......

a) Xét \(\Delta\)HBA và \(\Delta\)ABC có:

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{B}\) là góc chung

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)HBA đồng dạng vs \(\Delta\)ABC

b) Trong \(\Delta\)ABC vuông tại A có:

BC² = AB² + AC²

= 6² + 8²

= 100

\(\Rightarrow\) BC = 10(cm)

Vì \(\Delta\)HBA đồng dạng vs \(\Delta\)ABC

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)

Trong \(\Delta\)HAB vuông góc tại H có:

BH² = AB² - AH² (suy ra từ định lý pytago)

= 6² - 4,8²

= 12.96

\(\Rightarrow\) BH = 3,6 (cm)

c) Xét \(\Delta\)HAC và \(\Delta\)ABC có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{C}\) là góc chung

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)HAC đồng dạng vs \(\Delta\)ABC

Mà \(\Delta\)HBA đồng dang vs \(\Delta\)ABC

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)HAC đồng dạng vs \(\Delta\)HBA

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{HC}{AH}\)

\(\Rightarrow\) AH² = HB.HC

d) Vì \(\Delta\)HBA đồng dạng với \(\Delta\)ABC

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{BCA}\) (2 góc tương ứng)

Hay \(\widehat{HAI}=\widehat{BCA}\)

Vì tứ giác AKHI có:

\(\widehat{A}=\widehat{K}=\widehat{I}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\) AKHI là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\) \(\widehat{HAI}=\widehat{KIA}\) (t/chất)

Mà \(\widehat{HAI}=\widehat{BCA}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{KIA}=\widehat{BCA}\)

Xét \(\Delta\) AKI và \(\Delta\)ABC có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

\(\widehat{KIA}=\widehat{BCA}\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)AKI đồng dạng vs \(\Delta\)ABC

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AI}{AC}\)

\(\Rightarrow\) AB.AI = AC.AK

Answer 3

d) Cách khác:

Xét \(\bigtriangleup AHB(\widehat{BHA}=90^{\circ})\)

...........AI . AB = AH² (Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông)

Xét \(\bigtriangleup AHC(\widehat{AHC}=90^{\circ})\)

..........AK . AC = AH² (Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông)

=> AI . AB = AK . AC