Question

cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC . Qua đỉnh A kể đường thẳng xy sao cho xy không cắt đoạn thẳng BC . Kẻ BD và CE vuông góc với xy ( D thuộc xy ; E thuộc xy ) . chứng minh :

a, góc DAB = góc ACE

b, tam giác ABD = tam giác CAE

c, DE = BD + CE

Answer 1

Vì \(\Delta\) ABC vuông tại A => \(\widehat{BAC}=90^o\) (đ/n tam giác vuông )

a, Ta có : \(\widehat{BAD}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=180^o\)

Mà : \(\widehat{BAC}=90^o\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{CAE}=90^o\)

Lại có : \(\widehat{CAE}+\widehat{ACE}=90^o\) ( tổng 2 góc nhọn trog \(\Delta\) vuông )

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{ACE}\)

b, Xét \(\Delta DAB\) có :

\(\widehat{ADB}+\widehat{DAB}+\widehat{ABD}=180^o\) ( t/c tổng 3 góc 1 tam giác )

Xét \(\Delta ACE\) có :

\(\widehat{ACE}+\widehat{AEC}+\widehat{CAE}=180^o\) ( t/c tổng 3 góc 1 tam giác )

\(\Rightarrow\widehat{ADB}+\widehat{DAB}+\widehat{ABD}=\widehat{ACE}+\widehat{AEC}+\widehat{CAE}\)

Mà : \(\widehat{DAB}=\widehat{ACE}\left(cmt\right);\widehat{BDE}=\widehat{CEA}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CAE}\)

Xét \(\Delta\) ABD và \(\Delta\) ACE có :

AB = AC (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{CAE}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{DAB}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta CAE=\Delta ABD\left(gcg\right)\)

=> AD = CE ( 2 cạnh tương ứng )

BD = AE ( 2 cạnh tương ứng )

Mà : DE = AD + AE

=> DE = BD + CE