Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và góc EAD = góc ECB

b) Cho góc BMC = 120⁰ và S_AED = 36 cm². Tính S_ECB?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.

d) Kẻ DH ⊥ BC (H∈ BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ ⊥ PD.

Answer 1

(tham khảo cách giải của bài này ik

Link: https://vndoc.com/de-thi-hoc-sinh-gioi-mon-toan-lop-8-nam-2014-2015-quan-long-bien-ha-noi/download )

a) * Chứng minh EA.EB = ED.EC

- Chứng minh Δ EBD đồng dạng với Δ ECA (gg)

- Từ đó suy ra EB/EC = ED/EA → EA.EB = ED.EC

* Chứng minh góc EAD = góc ECB

- Chứng minh Δ EAD đồng dạng với Δ ECB (cgc)

- Suy ra góc EAD = góc ECB

b) - Từ góc BMC = 120^o → góc AMB = 60^o → góc ABM = 30^o

- Xét Δ EDB vuông tại D có góc B = 30^o

→ ED = 1/2 EB

- Lý luận cho S_EAD/S_ECB = (ED/EB)² từ đó S_ECB = 144 cm²

c) - Chứng minh BMI đồng dạng với Δ BCD (gg)

- Chứng minh CM.CA = CI.BC

- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC² có giá trị không đổi

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB² + AC² = BC²

d) - Chứng minh Δ BHD đồng dạng với Δ DHC (gg)

→ BH/DH = BD/DC → 2BP/2DQ = BD/DC → BP/DQ = BD/DC

- Chứng minh Δ DPB đồng dạng với Δ CQD (cgc)

→ góc BDP = góc DCQ mà góc BDP + góc PDC = 90⁰ → CQ ⊥ PD