Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD (D thuộc AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = AB.

a, Chứng minh DE vuông góc với BC

b, Tia ED cắt tia BA tại F, tia BD cắt CF tại K. Chứng minh K là trung điểm của CF.

Answer 1

Lời giải:

a)

Xét hai tam giác \(BAD\) và \(BED\) có:

\(\left\{\begin{matrix} \angle ABD=\angle EBD=\frac{\angle B}{2}\\ \frac{AB}{BD}=\frac{EB}{BD}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle EBD\)

\(\Rightarrow 90^0=\angle BAD=\angle BED\Rightarrow DE\perp BC\)

b) Xét tam giác $BFC$ thấy:

\(\left\{\begin{matrix} CA\perp BF\\ FE\perp BC(\text{do DE vuông góc với BC})\\ CA\cap FE\equiv D\end{matrix}\right.\)

Do đó, $D$ là trực tâm của tam giác $BFC$ \(\Rightarrow BD\perp CF\)

Tam giác $BFC$ có $BD$ vừa là phân giác góc $B$ vừa là đường cao nên $BFC$ cân tại $B$

Do đó, $BD$ cũng đồng thời là đường trung tuyến hạ từ $B$ xuống $FC$, hay \(K=BD\cap CF\) là trung điểm của $CF$