Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat{ABC}=2.\widehat{ACB}\). Tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) cắt cạnh AC ở D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA=BE
1) Chứng minh:
a) DE\(\perp\)BC
b) E là trung điểm của BC và BA=\(\frac{1}{2}.BC\)
2) Gọi K là giao điểm của ED với BA. Chứng minh rằng BD vuông góc với CK
3) Chứng minh AE song song với CK
1: Xét \(\Delta\)BDA và \(\Delta\)BED có
BA=BE(gt)
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(do BD là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))
BD là cạnh chung
Do đó: \(\Delta\)BDA=\(\Delta\)BED(c-g-c)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{BAD}=90^0\)(do \(\widehat{BAC}=90^0,D\in AC\))
nên \(\widehat{BED}=90^0\)
\(\Rightarrow DE\perp BC\)(đpcm)
b) Ta có: \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{DBC}\)(do BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
nên \(\widehat{ACB}=\widehat{DBC}\)
Xét \(\Delta\)BDC có \(\widehat{DCB}=\widehat{DBC}\)(\(\widehat{ACB}=\widehat{DBC}\),D\(\in\)AC)
nên \(\Delta\)BDC cân tại D
Ta có: DE là đường cao ứng với cạnh đáy BC của \(\Delta\)BDC cân tại D(do \(DE\perp BC\))
nên DE cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(định lí tam giác cân)
\(\Rightarrow\)E là trung điểm của BC
\(\Rightarrow BE=EC=\frac{BC}{2}\)
mà \(BA=BE\)(gt)
nên \(BA=\frac{BC}{2}\)
\(\Rightarrow BA=\frac{1}{2}\cdot BC\)(đpcm)
2: Ta có: \(\Delta\)BDA=\(\Delta\)BDE(cmt)
\(\Rightarrow DA=DE\)(hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)ADK vuông tại A và \(\Delta\)DEC vuông tại E có
AD=DE(cmt)
\(\widehat{ADK}=\widehat{EDC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: \(\Delta\)ADK=\(\Delta\)DEC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
\(\Rightarrow\)AK=EC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: BK=BA+AK(do B,A,K thẳng hàng)
BC=BE+EC(do B,E,C thẳng hàng)
mà BA=BE(gt)
và AK=EC(cmt)
nên BK=BC
Xét \(\Delta\)BKC có BK=BC(cmt)
nên \(\Delta\)BKC cân tại B(định nghĩa tam giác cân)
Ta có: BD là đường phân giác ứng với cạnh KC của \(\Delta\)BKC cân tại B(do BD là tia phân giác của \(\widehat{KBC}\))
nên BD cũng là đường cao ứng với cạnh KC(định lí tam giác cân)
\(\Rightarrow BD\perp CK\)(đpcm)
3)Xét \(\Delta\)BAE có BA=BE(gt)
nên \(\Delta\)BAE cân tại B(định nghĩa tam giác cân)
\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\frac{180^0-\widehat{ABE}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của \(\Delta\)BAE cân tại B)(1)
Ta lại có: \(\Delta\)BKC cân tại B(cmt)
\(\Rightarrow\widehat{BKC}=\frac{180^0-\widehat{KBC}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của \(\Delta\)BKC cân tại B)(2)
Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{KBC}\)(do \(K\in AB,C\in BE\))(3)
Từ (1) ,(2) và (3) suy ra \(\widehat{BAE}=\widehat{BKC}\)
mà \(\widehat{BAE}\) và \(\widehat{BKC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên AE//CK(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)(đpcm)