Cho tam giác ABC vuông tại A (AB <AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.
a, Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật
b, Gọi D là điểm đối xứng của I qua N.
Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.
c, Đường thẳng BN cắt DC tại K. Cmr: \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\)
a) Ta có : ^A = ^M = ^N = 90*
=> Tứ giác AMIN là hình chữ nhật
b) Xét tam giác ACB có :
IB=IC (gt)
IN //AB (IN vuông góc vs CA ; CA vuông góc vs AC ; từ vuông góc đến // )
=> NC =NA (đg tb của tam giác )
Xét tứ giác AMIN có :
CA cắt ID tại N
Có : NI=ND (gt)
NC=NA(cmt)
=> AMIN là hbh
mà CA vuông góc vs ID
=> AMIN là hình thoi
Câu c) Thiếu yêu cầu
c) Gọi $P$ là giao điểm của $BN$ và $AI$
Vì $AICD$ là hình thoi(cmt)
$\to AI//DC$
$\to$ \(\widehat{AIN}=\widehat{CDN}\) (cặp góc sole trong)
Xét ΔINP và ΔDNK có:
\(\widehat{PIN}=\widehat{KDN}\)(cmt)
$IN=DN$
\(\widehat{INP}=\widehat{DNK}\) (đđ)
$\to$ ΔINP=ΔDNK (g.c.g)
$\to IP=DK$
Vì $AICD$ là hình thoi (cmt)
$\to AI=DC$
$AN=NC$
$\to BN là trung tuyến$
Xét ΔABC có: AI, BN là đường trung tuyến
mà BN cắt AI tại P
$\to$ P là trọng tâm tam giác
$\to$ \(\dfrac{IP}{AI}=\dfrac{1}{3}\)
Hay \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\)