a) Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có
AE chung
\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), K∈AB)
Do đó: ΔACE=ΔAKE(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒AC=AK(hai cạnh tương ứng)
⇒A nằm trên đường trung trực của CK(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: ΔACE=ΔAKE(cmt)
⇒CE=KE(hai cạnh tương ứng)
⇒E nằm trên đường trung trực của KC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của KC
hay AE⊥CK(đpcm)
b) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
⇒\(\widehat{CAB}+\widehat{ABC}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{ABE}=90^0-\widehat{CAB}=90^0-60^0=30^0\)(1)
Ta có: AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\)(gt)
⇒\(\widehat{BAE}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{60^0}{2}=30^0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)
Xét ΔEAB có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)(cmt)
nên ΔEAB cân tại E(định lí đảo của tam giác cân)
⇒EA=EB
Xét ΔEAK vuông tại K và ΔEBK vuông tại K có
EA=EB(cmt)
EK chung
Do đó: ΔEAK=ΔEBK(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒KA=KB(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: ΔKEB vuông tại K(EK⊥AB)
⇒EB là cạnh huyền(vì EB là cạnh đối diện của \(\widehat{EKB}=90^0\))
⇒EB>KB
mà KB=KA(cmt)
nên EB>KA
mà KA=AC(cmt)
nên EB>AC(đpcm)
d)
Gọi F là giao điểm của AC và BD
Ta có: ΔKEA vuông tại K(EK⊥AB)
nên \(\widehat{KEA}+\widehat{KAE}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
⇒\(\widehat{KEA}=90^0-30^0=60^0\)
Ta có: ΔCAE=ΔKAE(cmt)
⇒\(\widehat{AEC}=\widehat{AEK}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AEK}=60^0\)(cmt)
nên \(\widehat{AEC}=60^0\)
Ta có: ΔAEK=ΔBEK(cmt)
⇒\(\widehat{AEK}=\widehat{BEK}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AEK}=60^0\)(cmt)
nên \(\widehat{BEK}=60^0\)(3)
Xét ΔAFB có
AD là đường cao ứng với cạnh FB(gt)
AD là đường phân giác ứng với cạnh FB(gt)
Do đó: ΔAFB cân tại A(định lí tam giác cân)
⇒AF=AB(hai cạnh bên)
Ta có: AC+CF=AF(C nằm giữa A và F)
AK+KB=AB(K nằm giữa A và B)
mà AF=AB(cmt)
và AC=AK(cmt)
nên CF=KB
Xét ΔCEF vuông tại C và ΔKEB vuông tại K có
CF=KB(cmt)
CE=KE(cmt)
Do đó: ΔCEF=ΔKEB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{CEF}=\widehat{KEB}\)(hai góc tương ứng)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{CEF}=60^0\)
Ta có: \(\widehat{KEA}+\widehat{CEA}+\widehat{FEC}=\widehat{FEK}\)
hay \(\widehat{FEK}=60^0+60^0+60^0=180^0\)
⇒F,E,K thẳng hàng
hay F∈EK
mà AC\(\cap\)BD={F}(theo cách gọi)
nên AC,BD và EK cùng đi qua 1 điểm(đpcm)