Question

Cho tam giác ABC vuông ở A, p/g BD (D thuộc AC ). Kẻ AE_|_ BD tại E, AE cát BC ở K

a, tam giác ABK là tam giác gì?

b, Cm DK_|_ BC

c, kẻ AH_|_ BC tại H. Cm Ak là tia p/giác của góc HAC

d, Gọi I là gđ của AH và BD. Cm IK// AC

Answer 1

a.Xét tam giác ABE và tam giác KBE ta có:

góc ABE = góc KBE (gt)
BE là cạnh chung
góc AEB = góc KEB (gt)
==> tam giác ABE = tam giác KBE (g.c.g)

===>BA = BK ===> tam giác ABK cân tại B (đpcm)
b.Xét tam giác BAD và tam giác BKD
ta có: BD là cạnh chung
góc ABD = góc KBD
Vậy tam giác BAD = tam giác BKD (trường hợp cạnh huyền góc nhọn của tam giác vuông)
Suy ra góc BKD = góc BAD = 90 độ => DK vuông góc BC
c.Ta có: tam giác ABE = tam giác KBE (cmt)
=> AE = KE (2 cạnh tương ứng), mà E thuộc AK (gt)
=> E là trung điểm của AK (t/c)
Mà BE vuông góc với AK tại E (gt)
=> BE là đường trung trực của đoạn AK (t/c)
Có D thuộc BE => ED là đường trung trực của AK
=> AD = KD
=> tam giác ADK cân tại D (dhnb)
=> góc KAD = góc AKD (t/c) (1)
Có AH vuông góc với BC tại H (giả thiết)
DK vuông góc với BC tại K (cmt)
Từ 2 điều đó => AH // DK (do cùng vuông góc với BC)
=> góc HAK = góc AKD (2 góc so le trong) (2)
Từ (1) và (2) => góc KAD = góc HAK (cùng = góc AKD)
mà tia AK nằm giữa 2 tia AH và AD
=> AK là tia phân giác góc HAC

d. Ta có AH cắt BD tại I (gt) => I thuộc BD
=> I thuộc trung trực của AK
=> IA = IK (t/c)
=> Tam giác IAK cân tại I (dhnb)
=> góc IAK = góc IKA
mà góc IAK = góc KAD (cmt)
=> góc IKA = góc KAD (= góc IAK)
mà góc IKA và góc KAD nằm ở vị trí so le trong
=> IK // AC (dhnb 2 đường thẳng //)

Answer 2

a)Xét tam giác ABE và tam giác KBE
Ta có: góc ABE = góc KBE (giả thiết)
cạnh BE là cạnh chung
góc AEB = góc KEB (giả thiết)
Vậy tam giác ABE = tam giác KBE (trường hợp góc cạnh góc)
Suy ra BA = BK => tam giác ABK cân tại B

b)Xét tam giác BAD và tam giác BKD
ta có: BD là cạnh chung
góc ABD = góc KBD
Vậy tam giác BAD = tam giác BKD (trường hợp cạnh huyền góc nhọn của tam giác vuông)
Suy ra góc BKD = góc BAD = 90 độ => DK vuông góc BC

c: Ta có: tam giác ABE = tam giác KBE (cmt)
=> AE = KE (2 cạnh tương ứng), mà E thuộc AK (gt)
=> E là trung điểm của AK (t/c)
Mà BE vuông góc với AK tại E (gt)
=> BE là đường trung trực của đoạn AK (t/c)
Có D thuộc BE => ED là đường trung trực của AK
=> AD = KD
=> tam giác ADK cân tại D (dhnb)
=> góc KAD = góc AKD (t/c) (1)
Có AH vuông góc với BC tại H (giả thiết)
DK vuông góc với BC tại K (cmt)
Từ 2 điều đó => AH // DK (do cùng vuông góc với BC)
=> góc HAK = góc AKD (2 góc so le trong) (2)
Từ (1) và (2) => góc KAD = góc HAK (cùng = góc AKD)
mà tia AK nằm giữa 2 tia AH và AD
=> AK là tia phân giác góc HAC

d : Có AH cắt BD tại I (gt) => I thuộc BD
=> I thuộc trung trực của AK
=> IA = IK (t/c)
=> Tam giác IAK cân tại I (dấu hiệu nhận biết)
=> góc IAK = góc IKA
mà góc IAK = góc KAD (cmt)
=> góc IKA = góc KAD (= góc IAK)
mà góc IKA và góc KAD nằm ở vị trí so le trong
=> IK // AC (dhnb 2 đường thẳng //)

Chúc bạn học tốt