Ôn thi vào 10

LH

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC, vẽ HM vuông góc cới AI tại M.

          a) Chửng minh tứ giác AHME nội tiếp và AE.AC = AM.AI;

          b) Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng MN.

AT
25 tháng 6 2021 lúc 10:47

a) Ta có: \(\angle AMH=\angle AEH=90\Rightarrow AEMH\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AME=\angle AHE\)

Ta có: \(\angle HEC+\angle HDC=90+90=180\Rightarrow HECD\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AHE=\angle ACD\Rightarrow\angle AME=\angle ACD\Rightarrow MECI\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AME=\angle ACI\)

Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta ACI:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AME=\angle ACI\\\angle CAIchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AME\sim\Delta ACI\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AE}{AI}\Rightarrow AE.AC=AM.AI\)

b) Gọi T là trung điểm AH

Dễ dàng chứng minh được T là tâm (AEMH)

 \(\Rightarrow\Delta TEH\) cân tại T \(\Rightarrow\angle TEH=\angle THE=\angle ACB\) ​(HECD nội tiếp)

\(\Delta EBC\) ​vuông tại E có I là trung điểm BC cân tại I

 \(\Rightarrow\Delta EBI\) cân tại I \(\Rightarrow\angle BEI=\angle EBI\)

mà \(\angle EBI+\angle ACB=90\Rightarrow\angle BEI+\angle TEH=90\Rightarrow\angle TEI=90\)

\(\Rightarrow IE\) là tiếp tuyến của (AEMH) 

\(\Rightarrow\angle IAE=\angle IEM=\angle ICM\) (EMIC nội tiếp)

mà \(\angle IAE=\angle NBC\) (NBAC nội tiếp) \(\Rightarrow\angle ICM=\angle NBC\)

\(\Rightarrow CM\parallel BN\)

Tương tự \(\Rightarrow BM\parallel CN\) \(\Rightarrow BMCN\) là hình bình hành

mà I là trung điểm BC \(\Rightarrow I\) là trung điểm MN

undefined

 

  

 

 

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
H24
Xem chi tiết
WC
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
X9
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
MG
Xem chi tiết
TN
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết