Question

Cho tam giác ABC có góc B › góc C. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BC, ( H  thuộc BC )

a, Chứng minh rằng HB ‹ HC

b, Gọi AD là tia phân giác của góc HAC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH. Chứng minh DH = DE

c, Gọi K là giao điểm của ED và AH. Chứng minh AD vuông góc với CK

Answer 1

a)

Xét ΔABC có \(\widehat{B}>\widehat{C}\)(gt)

mà cạnh đối diện với \(\widehat{B}\) là cạnh AC

và cạnh đối diện với \(\widehat{C}\) là cạnh AB

nên AC>AB(Định lí quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

hay AB<AC

Xét ΔABC có 

BH là hình chiếu của AB trên BC

CH là hình chiếu của AC trên BC

mà AB<AC(cmt)

nên BH<CH(Định lí quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên)

Answer 2

b) Xét ΔAHD và ΔAED có

AH=AE(gt)

\(\widehat{HAD}=\widehat{EAD}\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{HAE}\))

AD chung

Do đó: ΔAHD=ΔAED(c-g-c)

Suy ra: DH=DE(hai cạnh tương ứng)

Answer 3

c) Ta có: ΔAHD=ΔAED(cmt)

nên \(\widehat{AHD}=\widehat{AED}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHD}=90^0\)(gt)

nên \(\widehat{AED}=90^0\)

hay DE\(\perp\)AC tại E

Xét ΔHDK vuông tại H và ΔEDC vuông tại E có 

DH=DE(cmt)

\(\widehat{HDK}=\widehat{EDC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHDK=ΔEDC(Cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

Suy ra: DK=DC(hai cạnh tương ứng) và HK=EC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AH+HK=AK(H nằm giữa A và K)

AE+EC=AC(E nằm giữa A và C)

mà AH=AE(gt)

và HK=EC(cmt)

nên AK=AC

hay A nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: DK=DC(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của CK

hay AD\(\perp\)CK(Đpcm)