a) Xét \(\Delta BNA\) và \(\Delta MNE\) , Ta có:
\(MN=NB\)(Do \(N\) là trung điểm của \(MB\))
\(\widehat{BNA}=\widehat{MNE}\)
\(AN=NE\)( gt)
=> \(\Delta BNA=\Delta MNE\left(c.g.c\right)\)
b)
\(*\)) Do \(BC=2AB\) nên \(\frac{1}{2}\)\(BC=AB\) => \(MB=BA\)
\(=>\) \(\Delta BMA\) là tam giác cân tại \(B\)
c)
\(*\)) Kéo dài đường thẳng \(AM\) cắt \(EC\) tại \(Q\) và nối \(EB.\)
Do \(\Delta NBA=\Delta NME\) => \(ME=BA\)
Mà \(MB=BA\)=> \(EM=MB\) đồng thời \(EM=MC\)(Do \(MC=MB\))
=>\(\Delta MEB\) cân tại M => \(\widehat{MEB}=\widehat{MBE}\) (1)
và \(\Delta EMC\) cân tại M => \(\widehat{MEC}=\widehat{MCE}\) (2)
Từ 1 và 2 => \(\widehat{BEM}+\widehat{MEC}=\widehat{BEC}=\widehat{ECM}+\widehat{EBM}\)
Mà \(\widehat{BEC}+\widehat{ECM}+\widehat{ECB}=180^o\)
=> \(\widehat{BEC}=90^o\) => \(EB\) \(\bot~ EC\)
Xét \(\Delta ENB\) và \(\Delta ANM\), ta có:
\(MN=NB\)
\(\widehat{ENB}=\widehat{ANM}\)
\(EN=NA\)
=> \(\Delta ENB\) và \(\Delta ANM\left(c.g.c\right)\) => \(\widehat{AMB}=\widehat{MBE}\) và 2 góc này nằm ở vị trí so le trong nên \(EB\)//\(MA\) (4)
Từ 3 và 4. Ta có: AQ \(\bot ~ EC\)
Xét \(\Delta MEQ\) và \(MCQ\). Có:
\(\widehat{EQM}=\widehat{CQM}\left(=90^o\right)\)
\(ME=MC\)
\(\widehat{MEQ}=\widehat{MCQ}\)
=> \(\Delta MEQ=MCQ\left(ch-gn\right)\)
=> \(QE=QC\)=> \(AQ\) là đường trung tuyến ứng với cạnh EC (5)
và \(CN\) là đường trung tuyến ứng với cạnh\(EA\)A (6)
Từ 5 và 6 =>\(M\) là điểm giao nhau của 2 đường trung tuyến của tam giác => \(M\) là trọng tâm của \(\Delta CEA\)
d)
\(*\)) Lấy điểm \(K\) trên cạnh \(MA\) sao cho \(MK=KA\) và điểm giao nhau của \(NA\) và \(KB\) là \(T\) (Ta có thể thấy \(T\) là trọng tâm của \(\Delta MBA\) do T là giao điểm của 2 đường trung tuyến => \(TA=\)\(\frac{2}{3}\)AN)
Ta có: \(\Delta MKB=\Delta AKB\left(c.c.c\right)\)=> \(\widehat{MKB}=\widehat{AKB}\left(=90^o\right)\) => \(BK//EQ\)=>\(\widehat{EBK}=90^o\)
=> \(\widehat{BTA}>90^o\) => \(AB>TA\) => \(AB>\)\(\frac{2}{3}\)\(AN\)
a) Xét ΔBNAΔBNA và ΔMNEΔMNE , Ta có:
MN=NBMN=NB(Do NN là trung điểm của MBMB)
ˆBNA=ˆMNEBNA^=MNE^
AN=NEAN=NE( gt)
=> ΔBNA=ΔMNE(c.g.c)ΔBNA=ΔMNE(c.g.c)
b)
∗∗) Do BC=2ABBC=2AB nên 1212BC=ABBC=AB => MB=BAMB=BA
=>=> ΔBMAΔBMA là tam giác cân tại BB
c)
∗∗) Kéo dài đường thẳng AMAM cắt ECEC tại QQ và nối EB.EB.
Do ΔNBA=ΔNMEΔNBA=ΔNME => ME=BAME=BA
Mà MB=BAMB=BA=> EM=MBEM=MB đồng thời EM=MCEM=MC(Do MC=MBMC=MB)
=>ΔMEBΔMEB cân tại M => ˆMEB=ˆMBEMEB^=MBE^ (1)
và ΔEMCΔEMC cân tại M => ˆMEC=ˆMCEMEC^=MCE^ (2)
Từ 1 và 2 => ˆBEM+ˆMEC=ˆBEC=ˆECM+ˆEBMBEM^+MEC^=BEC^=ECM^+EBM^
Mà ˆBEC+ˆECM+ˆECB=180oBEC^+ECM^+ECB^=180o
=> ˆBEC=90oBEC^=90o => EBEB ⊥ EC⊥ EC
Xét ΔENBΔENB và ΔANMΔANM, ta có:
MN=NBMN=NB
ˆENB=ˆANMENB^=ANM^
EN=NAEN=NA
=> ΔENBΔENB và ΔANM(c.g.c)ΔANM(c.g.c) => ˆAMB=ˆMBEAMB^=MBE^ và 2 góc này nằm ở vị trí so le trong nên EBEB//MAMA (4)
Từ 3 và 4. Ta có: AQ ⊥ EC⊥ EC
Xét ΔMEQΔMEQ và MCQMCQ. Có:
ˆEQM=ˆCQM(=90o)EQM^=CQM^(=90o)
ME=MCME=MC
ˆMEQ=ˆMCQMEQ^=MCQ^
=> ΔMEQ=MCQ(ch−gn)ΔMEQ=MCQ(ch−gn)
=> QE=QCQE=QC=> AQAQ là đường trung tuyến ứng với cạnh EC (5)
và CNCN là đường trung tuyến ứng với cạnhEAEAA (6)
Từ 5 và 6 =>MM là điểm giao nhau của 2 đường trung tuyến của tam giác => MM là trọng tâm của ΔCEAΔCEA
d)
∗∗) Lấy điểm KK trên cạnh MAMA sao cho MK=KAMK=KA và điểm giao nhau của NANA và KBKB là TT (Ta có thể thấy TT là trọng tâm của ΔMBAΔMBA do T là giao điểm của 2 đường trung tuyến => TA=TA=2323AN)
Ta có: ΔMKB=ΔAKB(c.c.c)ΔMKB=ΔAKB(c.c.c)=> ˆMKB=ˆAKB(=90o)MKB^=AKB^(=90o) => BK//EQBK//EQ=>ˆEBK=90oEBK^=90o
=> ˆBTA>90oBTA^>90o => AB>TAAB>TA => AB>AB>2323AN