a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\) có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(BC^2=8^2+6^2\)
=> \(BC^2=64+36\)
=> \(BC^2=100\)
=> \(BC=10\left(cm\right)\) (vì \(BC>0\)).
b) Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABC\) và \(ADC\) có:
\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=90^0\left(gt\right)\)
\(AB=AD\left(gt\right)\)
Cạnh AC chung
=> \(\Delta ABC=\Delta ADC\) (2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau).
=> \(BC=DC\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\widehat{ACB}=\widehat{ACD}\) (2 góc tương ứng).
Hay \(\widehat{ECB}=\widehat{ECD}.\)
+ Xét 2 \(\Delta\) \(BEC\) và \(DEC\) có:
\(BC=DC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ECB}=\widehat{ECD}\left(cmt\right)\)
Cạnh EC chung
=> \(\Delta BEC=\Delta DEC\left(c-g-c\right).\)
c) Vì \(AB=AD\left(gt\right)\)
=> A là trung điểm của \(BD.\)
=> \(AC\) là đường trung tuyến của \(\Delta BCD.\)
Mà \(E\in AC\left(gt\right)\)
=> \(AE+EC=AC.\)
=> \(2+EC=6\)
=> \(EC=6-2\)
=> \(EC=4\left(cm\right).\)
+ Ta có: \(\frac{EC}{AC}=\frac{4}{6}\)
=> \(\frac{EC}{AC}=\frac{2}{3}.\)
+ Xét \(\Delta BCD\) có:
\(\frac{EC}{AC}=\frac{2}{3}\left(cmt\right).\)
=> E là trọng tâm của \(\Delta BCD\) (dấu hiệu nhận biết trọng tâm của tam giác).
=> \(DE\) là đường trung tuyến của \(\Delta BCD.\)
Hay \(DE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BC.\)
=> \(DE\) đi qua trung điểm của cạnh \(BC\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!