Question

Cho tam giác ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K. Chứng minh

: a. Tam giác BCN = tam giác CMB b. Tam giác BKC cân tại K c. BC< 4.KM

Answer 1

a) Xét hai tam giác BCN và CMB có:

BN = CM (gt)

\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

BC: cạnh chung

Vậy: \(\Delta BCN=\Delta CMB\left(c-g-c\right)\).

b) Vì \(\Delta BCN=\Delta CMB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta BKC\) cân tại K.

Answer 2

c) Vì BM cắt CN tại K

\(\Rightarrow\) K là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\) \(KM=\dfrac{1}{3}BM,\) \(KB=\dfrac{2}{3}BM\)

\(\Rightarrow\) BK = 2KM (1)

Mà BK = CK (do \(\Delta BKC\) cân tại K)

\(\Rightarrow\) CK = 2KM (2)

Xét \(\Delta BCK\) có:

BC < BK + CK (theo bất đẳng thức tam giác) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

BC < 2KM + 2KM \(\Rightarrow\) BC < 4KM (đpcm).