a, Xét tam giác ABC cân tại A ta có:
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (theo tính chất của tam giác cân)
Vì AB=AC(gt) nên \(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\Rightarrow AN=NB=AM=MC\)
Xét tam giác BCN và tam giác CBM ta có:
BN=CM(cmt); \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (cmt); BC:chung
Do đó tam giác BCN =tam giác CBM(c.g.c)(đpcm)
b, Vì tam giác BCN =tam giác CBM (cmt) nên \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) (cặp góc tương ứng)
=> tam giác KBC cân tại K(đpcm)
c, Do BM và CN lần lượt là trung tuyến cảu AC là AB mà \(AC\cap AB=\left\{K\right\}\)
nên K là trọng tâm của tam giác ABC
=> \(2KM=BK\)(1)
mà \(BK=CK\) (do tam giác KBC cân tại K)
\(\Rightarrow2KM=CK\)(2)
Xét tam giác BCK ta có:
\(BC< BK+CK\)(áp dụng bất đẳng thức tam giác) (3)
Từ (1);(2);(3) ta có:
\(BC< 2KM+2KM\Rightarrow BC< 4KM\) (đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
Câu hỏi của Vũ Trung Kiên bạn có thể tham khảo
a) Ta có :
2BN = AB , 2CM = AC
Mà AB = AC ( \(\Delta ABC\) cân tại A ) => BN = CM = AN = AM
Xét \(\Delta BCN\) và \(\Delta BCM\) ,có :
BN = CM ( c/m t )\(\Delta BCN=\Delta BCM\left(cgc\right)\)
BC : cạnh chung
\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) ( \(\Delta ABC\) cân tại A )
=>\(\Delta BCN=\Delta BCM\left(cgc\right)\)
b) Ta có :\(\Delta BCN=\Delta BCM\)
=> \(\widehat{BCN}=\widehat{CBM}\)
=> \(\Delta KBC\) cân tại K
c) Xét \(\Delta KBC\) ,có :
BC < KB + KC ( theo BĐT tam giác ) (*)
mà BK=2KM,CK = 2KN và BK =CK ,KM = KN (**)
Từ (*) (**) => BC < 4KM
Vì K là giao điểm của 2 đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) \(\Rightarrow NA=NB;MA=MC\) mà AB = AC \(\Rightarrow NB=MC\)
Xét 2 tam giác \(BCN\) và \(BCM\) ta có :
\(NB=MC\) ( cmt )
BC cạnh chung
Góc ABC = Góc ACB ( tam giác cân tại A )
\(\Rightarrow\Delta BCM=\Delta BCN\left(c-g-c\right)\)
b ) Vì \(\Delta BCM=\Delta CBN\)
\(\Rightarrow\) Góc \(BCM=\) Góc \(CBN\) ( 2 góc t ứng )
\(\Rightarrow\) Góc \(KBC\) = Góc \(KCB\)
Vậy tam giác KBC cân tại K
c ) Xét \(\Delta KBC\) : Áp dụng BĐT ta có :
BC < KB + KC
Áp dụng tính chất đường trung tuyến ta có :
\(KM=\dfrac{1}{3}BM;KB=\dfrac{2}{3}BM\)
\(\Rightarrow BK=2.KM\)
\(\Leftrightarrow\) \(CK=2.KN\)
\(\Rightarrow\) \(BK+CK=4KM\) mà \(BC< KB+KC\) (cmt)
\(\Rightarrow BC< 4KM\) (đpcm)