Cho tam giác ABC cân tại A; \(M\in AB\) ; trên tia đối của CA lấy N sao cho \(BM=CN\). Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M, N trên đương thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN, BC
a/ Chứng minh I là trung điểm của MN
b/ Đường phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của Mn tại Q. C.m QC vuông góc với AC
c/ Đường thẳng QA giao BC tại H. Chứng minh rằng \(QA^2=HA^2+HQ^2+\dfrac{BC^2}{2}\)
Hình vẽ:
Bài làm:
a/ Xét 2 tg vuông: MBD và NCE có:
MB = NC (gt)
\(\widehat{DBM}=\widehat{ECN}\left(=\widehat{ACB}\right)\)
=> \(\Delta MBD=\Delta NCE\left(ch-gn\right)\)
=> MD = NE
Ta có: \(\widehat{M_1}+\widehat{D_1}+\widehat{I_1}=180^o\)
\(\widehat{N_1}+\widehat{E_1}+\widehat{I_2}=180^o\)
mà g D1 = g E1 ; g I1 = g I2
=> \(\widehat{M_1}=\widehat{N_1}\)
Xét 2 tg vuông MDI và NEI có:
MD = NE (cmt)
\(\widehat{M_1}=\widehat{N_1}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MDI=\Delta NEI\left(cgv-gnk\right)\)
=> MI = NI (1) mặt khác: I là giao điểm của MN và BC
=> 3 điểm M,N, I thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) => I là trung điểm của MN
b/
b/ Vì QI là đường trung trực MN nên
\(\Rightarrow QM=QN\)
Vì QA là đường trung trực của BC
\(\Rightarrow QB=QC\)
Lại có: \(MB=CN\)
\(\Rightarrow\Delta MBQ=\Delta NCQ\)
\(\Rightarrow\widehat{QBM}=\widehat{QCN}\left(1\right)\)
Dễ thấy: \(\Delta QBA=\Delta QCA\)
\(\Rightarrow\widehat{QBA}=\widehat{QCA}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{QCA}=\widehat{QCN}\)
Mà \(\widehat{QCA}+\widehat{QCN}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{QCA}=\widehat{QCN}=90^o\)
\(\Rightarrow QC\perp AC\)
c/ \(QA^2=QC^2+AC^2=HC^2+HQ^2+HC^2+HA^2\)
\(=\dfrac{BC^2}{4}+HQ^2+\dfrac{BC^2}{4}+HA^2=HA^2+HQ^2+\dfrac{BC^2}{2}\)
Bài này là bài cũ ?
a)
Tạm thời vẽ hình câu a
Sr bà bn! Tui chưa hc nên hỏi tui cx = 0! 
c) END
thêm dùm em (thiếu tia n)
