Cho tam giác ABC cân tại A có góc A < 90 độ . Kẻ BD vuông góc với AC tại D , CE vuông góc với AB tại E. Gọi K là giao điểm của BD và CE . Chứng minh rằng :
a ) Tam giác BCE = Tam giác CBD .
b ) Tam giác BEK = tam giác CDK .
c ) AK là tia phân giác của góc BAC .
d ) Ba điểm A , K , I thẳng hàng ( với I là trung điểm của BC )
Giúp mình nhé !
Tự vẽ hình.
a) Vì \(\Delta\)ABC cân tại A
=> AB = AC và \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)
hay \(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{DCB}\)
Xét \(\Delta\)BCE và \(\Delta\)CBD có:
BC chug
\(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{DCB}\) (c/m trên)
=> \(\Delta\)BCE = \(\Delta\)CBD (ch - gn)
b) Vì \(\Delta\)BCE = \(\Delta\)CBD (câu a)
=> BE = CD (2 cạnh t/ư)
Ta có: AE + BE = AB
AD + CD = AC
mà BE = CD; AB = AC
=> AE = AD
Xét \(\Delta\)AEC và \(\Delta\)ADB có:
AE = AD (c/m trên)
\(\widehat{A}\) chug
AC = AB
=> \(\Delta\)AEC = \(\Delta\)ADB (c.g.c)
=> \(\widehat{ACE}\) = \(\widehat{ABD}\) (2 góc t/ư)
hay \(\widehat{DCK}\) = \(\widehat{EBK}\)
Xét \(\Delta\)BEK và \(\Delta\)CDK có:
\(\widehat{BEK}\) = \(\widehat{CDK}\) (= 90o)
BE = CD (c/m trên)
\(\widehat{DCK}\) = \(\widehat{EBK}\) (c/m trên)
=> .........
c) Do \(\Delta\)BEK = \(\Delta\)CDK (câu b)
=> EK = DK (2 cạnh t/ư)
Xét \(\Delta\)AEK và \(\Delta\)ADK có:
AE = AD (câu b)
AK chung
EK = DK (c/m trên)
=> \(\Delta\)AEK = \(\Delta\)ADK (c.c.c)
=> \(\widehat{EAK}\) = \(\widehat{DAK}\) (2 góc t/ư)
Do đó AK là tia pg của \(\widehat{BAC}\).
d) Xét \(\Delta\)ABI và \(\Delta\)ACI có:
AB = AC (câu a)
AI chung
BI = CI (suy từ gt)
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABI=\Delta ACI\) (c.c.c)
=> \(\widehat{BIA}\) = \(\widehat{CIA}\) (2 góc t/ư)
Do đó IA là tia pg của \(\widehat{BIC}\) (1)
Lại có AK là tia pg của \(\widehat{BAC}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, K ,I thẳng hàng.