Cho tam giác ABC cân tại A có AE là đường cao. Gọi D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Vẽ điểm M đối xứng với điểm E qua điểm F
a) Chứng minh tứ giác BDFC là hình thang cân
b) Chứng minh tứ giác AECM là hình chữ nhật
c) Chứng minh tứ giác ABEM là hình bình hành
d) Biết BC=10cm, AC=13cm. Tính diện tích hình chữ nhật AECM
pn tự vẽ hình nhé
a) Xét \(\bigtriangleup ABC\), có:
\(\left.\begin{matrix} AD = DB (gt) & & \\ AF = FC (gt) & & \end{matrix}\right\}\)
=> DF là đường trung bình của \(\bigtriangleup ABC\)
=> DF // BC
=> Tứ giác BDFC là ht (1)
Mà: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\bigtriangleup ABC\) cân tại A)
Hay: \(\widehat{DBC}=\widehat{FCB}\) (2)
Từ (1) và (2) => Ht BDFC là htc
b) Xét tứ giác AECM, có:
\(\left.\begin{matrix} AF = FC (gt) & & \\ MF=FC (gt) & & \end{matrix}\right\}\)
=> Tứ giác AECM là hbh
Mà: \(AE\perp BC\) (gt)
Hay: \(AE\perp EC (EC \epsilon BC)\)
=> \(\widehat{AEC}= 90^{\circ}\)
Vậy hbh AECM là hcn
c) Ta có: AECM là hcn
=> AM // EC và AM = EC (3)
Ta lại có: AE là đường cao của \(\bigtriangleup ABC\) cân tại A
=> AE cũng là đường trung tuyến của \(\bigtriangleup ABC\)
=> BE = EC, mà \(EC\epsilon BE\) (4)
Từ (3) và (4) => AM // BE và AM = BE
=> Tứ giác ABEM là hbh
d) Ta có: \(EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.10= 5\) cm (E trung điểm BC)
Xét \(\bigtriangleup AEC\) vuông tại A, ta có:
\(AC^{2}= AE^{2} + EC^{2}\) (Pytago)
\(=> AE^{2}= AC^{2}- EC^{2}= 13^{2}- 5^{2}= 144\)
\(=> AE = \sqrt{144}= 12\) cm
\(S_{AECM}= AE.EC = 12.5=60 cm^{2}\)