a) Xét \(\Delta AHC,\Delta AHB\) có :
\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (ΔABC cân tại A)
\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta AHC=\Delta AHB\) (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Xét \(\Delta MCH,\Delta NBH\) có :
\(BH=CH\) (\(\Delta AHC=\Delta AHB\))
\(\widehat{BHN}=\widehat{CHM}\) (đối đỉnh)
\(HN=HM\left(gt\right)\)
=> \(\Delta MCH=\Delta NBH\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{HNB}=\widehat{HMC}=90^o\) (2 cạnh tương ứng)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}BN\perp MN\\AC\perp MN\end{matrix}\right.\)
=> \(BN//AC\)
c) Xét \(\Delta AQH,\Delta AMH\) có :
\(\widehat{QAH}=\widehat{MAH}\) (\(\Delta AHC=\Delta AHB\))
\(\widehat{AQH}=\widehat{AMH}\left(=90^o\right)\)
\(AH:Chung\)
=> \(\Delta AQH=\Delta AMH\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> QH = MH (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta BQH,\Delta BNH\) có :
\(BH:Chung\)
\(\widehat{BQH}=\widehat{BNH}\left(=90^o\right)\)
\(QH=NH\left(=MH\right)\)
=> \(\Delta BQH=\Delta BNH\left(c.g.c\right)\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}BN=BQ\\\widehat{NBH}=\widehat{QBH}\end{matrix}\right.\)
=> BH là đường phân giác trong tam giác cân BQN
=> BH đồng thời là đường trung trực của NQ
Mà : \(BH\equiv BC\)
=> BC là đường trung trực của NQ (đpcm)
