Ta có hình vẽ:a) Xét 2 \(\Delta ABM\) và \(\Delta ADM\) có:
\(\widehat{A1}\) = \(\widehat{A2}\) (gt)
AB = AD (gt)
AM là cạnh chung
=> \(\Delta ABM\) = \(\Delta ADM\) ( c-g-c)
=> BM = DM (2 cạnh tương ứng)
b) Xét 2 \(\Delta DAK\) và \(\Delta BAC\) có:
\(\widehat{A}\) là góc chung
AB = AD (gt)
\(\widehat{B2} = \widehat{D1}\) (vì \(\Delta ABM=\Delta ADM\) )
=> \(\Delta DAK=\Delta BAC\) ( g-c-g)
=> AK = AC (2 cạnh tương ứng)
c) Xét \(\Delta AKC\) có:
AK = AC (cmt)
=>\(\Delta AKC\) cân tại A
d) Ta có: \(\widehat{K} = \widehat{K1} + \widehat{K2} \)
\(\widehat{C} = \widehat{C1} + \widehat{C2}\)
mà \(\widehat{K} = \widehat{C}\) (vì\(\Delta AKC\) cân tại A)
\(\widehat{K2} = \widehat{C2}\) (vì\(\Delta DAK=\Delta BAC\))
=> \(\widehat{K1} = \widehat{C1}\)
=> \(\Delta KMC\) cân tại M
=> MK = MC
Ta lại có: \(\widehat{B1} = \widehat{A} + \widehat{C2}\) (góc ngoài của \(\Delta ABC\)
hay \(\widehat{B1} = \widehat{A} + \widehat{K2}\) (vì\(\Delta AKC\) cân tại A)
=> \(\widehat{B1} > \widehat{K2}\)
đối diện với \(\widehat{B1}\) là cạnh MK
đối diện với \(\widehat{K2}\) là cạnh MB
=> MK > MB (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
mặt \(\ne\) MK = MC (cmt)
=> MC > MB (đpcm)