Question

Cho phương trình \(\left(1-m\right)\left(x^2+1\right)+2\left(x+1\right)\sqrt{x^2+1}+2x=0\). Biết \((a;b]\) là tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Khi đó b-a có giá trị là

Answer 1

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+2\left(x+1\right)\sqrt{x^2+1}=m\left(x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\right)^2+2.\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}=m\)

Đặt \(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}=t\Rightarrow-1< t\le1\)

\(\Rightarrow t^2+2t=m\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2+2t\) trên \((-1;1]\Rightarrow f\left(-1\right)< f\left(t\right)\le f\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-1< m\le3\)