Question

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. CMR: p^8.n+3.p⁴ⁿ - 4 chia hết cho 5

Answer 1

Ta có : p⁸ⁿ+3p⁴ⁿ- 4 = (p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có tận cùng là chữ số 1;3;7 hoặc 9

+) Với p = (...1), ta có: p⁴ⁿ=(...1)⁴ⁿ=(...1)

=> (p⁴ⁿ)²=(...1)²=(...1); 3p⁴ⁿ= 3.(...1)=(...3)

=>(p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4=(...1)+(...3)-4=(...0) chia hết cho 5

+) Với p = (...3), ta có: p⁴ⁿ=(...3)⁴ⁿ=(...1)

=> (p⁴ⁿ)²=(...1)²=(...1); 3p⁴ⁿ= 3.(...1)=(...3)

=>(p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4=(...1)+(...3)-4=(...0) chia hết cho 5

+) Với p = (...7), ta có: p⁴ⁿ=(...7)⁴ⁿ=(...1)

=> (p⁴ⁿ)²=(...1)²=(...1); 3p⁴ⁿ= 3.(...1)=(...3)

=>(p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4=(...1)+(...3)-4=(...0) chia hết cho 5

+) Với p = (...9), ta có: p⁴ⁿ=[(...9)²ⁿ]²=(...1)²=(...1)

=> (p⁴ⁿ)²=(...1)²=(...1); 3p⁴ⁿ= 3.(...1)=(...3)

=>(p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4=(...1)+(...3)-4=(...0) chia hết cho 5

Vậy p⁸ⁿ+3p⁴ⁿ- 4 chia hết cho 5 khi p là số nguyên tố lớn hơn 5