Cho M là điểm nằm trong tam giác đều ABC. A', B', C' là hình chiếu của M trên các cạnh BC, AC, AB. Các đường thẳng vuông góc với BC tại C, vuông góc với CA tại A, vuông góc với AB tại B cắt nhau ở D, E, F. chứng minh rằng AB'+BC'+CA' không phụ thuộc vào vị trí của M trong tam giác ABC.
@Bùi Thị Vân em nhờ cô bài này nữa ạ! Cảm ơn cô!
Bài toán khá dài và nhiều bài toán nhỏ. Mình chỉ trình bày các ý quan trọng thôi.
Từ điểm M kẻ các đường thẳng song song với AB , AC, BC. Các đường thẳng này cắt các cạnh tam giác tại các điểm được đặt tên như hình vẽ.
Đặt tam giác ABC đều có cạnh bằng a (không đổi).
Từ đó ta tính được diện tích tam giác ABC là \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\).
Ta có:
\(S_{\Delta MAC}+S_{\Delta MBC}+S_{\Delta MAB}\)
\(=\dfrac{1}{2}MB'.AC+\dfrac{1}{2}MA'.BC+\dfrac{1}{2}MC'AB\)
\(=\dfrac{1}{2}AB\left(MB'+MA'+MC'\right)\) (vì AB = AC = BC).
Mà \(S_{\Delta MAC}+S_{\Delta MBC}+S_{\Delta MAB}=S_{\Delta ABC}\).
Suy ra \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AB\left(MB'+MA'+MC'\right)\)
\(\Leftrightarrow MB'+MA'+MC'=\dfrac{2S_{\Delta ABC}}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\).
Ta sẽ tính tổng AB' + BC' + CA' qua MB' + MA' + MC'.
Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song ta chứng minh được tam giác HMR, tam giác PMK, tam giác QMS đều.
Có \(MC'\perp AB\Rightarrow MC'\perp RH\).
Ta tính được \(\widehat{C'HM}=60^o\).
Sử dụng mối liện hệ các cạnh của tam giác vuông có góc bằng \(60^o\) ta suy ra:
\(MR=HM=\dfrac{2\sqrt{3}C'M}{3};C'H=C'R=\dfrac{\sqrt{3}}{3}C'M.\)
Một cách tương tự:
\(MQ=MS=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}MB';QB'=B'S=\dfrac{\sqrt{3}}{3}MB'\).
\(MP=MK=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}MA';PA'=A'K=\dfrac{\sqrt{3}}{2}MA'.\)
Các tứ giác AHMQ, RMPB, MSCK là hình bình hành nên:
AQ = HM; BR = MP; KC = MS.
\(AB'+BC'+CA'=AQ+QB'+BR+RC'+A'K+KC\)
\(=\left(AQ+BR+CK\right)+\left(QB'+RC'+A'K\right)\)
\(=\left(HM+MP+MS\right)+\left(QB'+RC'+A'K\right)\)
\(=\left(\dfrac{2\sqrt{3}MC'}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}MA'}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}MB'}{3}\right)\)\(+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}MC'+\dfrac{\sqrt{3}}{3}MA'+\dfrac{\sqrt{3}}{3}MB'\right)\)
\(=\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(MA'+MB'+MC'\right)\)
\(=\sqrt{3}\left(MA'+MB'+MC'\right)\)
\(=\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{3}{2}a\) (không phụ thuộc vào vị trí điểm M) (đpcm).