Question

cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, BC=2a. Hình chiếu của B' lên (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác ABC, góc giữa (CC',(ABB') bằng 60 độ. Tính V lăng trụ và góc giữa (HB',(ABB')

Answer 1

Giả sử (O,R) là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC 
=> A'O _|_(ABC) 
=> V(ABC.A'B'C') = A'O.S(ABC) 

*S(ABC) = (AB.AC.sin120)/2 = 4a^2 

Lại có ^A'AO = 30o là góc tạo bở cạnh bên và mặt đáy 
=> A'O = OA.tan 30 = R.√3/3 

Mặt khác áp dụng định lý sin tg ABC 
=> AB/sin ^BCA =2R 
=> R = AB/2sin^BCA = 4a 
=> A'O = 4a√3/3 

=> V(ABC.A'B'C') = 4a√3/3. 4a^2 = (16√3a^3)/3 

* Giả sử OA cắt BC tại M 
Do tg ABC cân => AM _|_BC, mà BC _|_A'O 
=> BC _|_(A'OM) -----------(*) 

Từ M kẻ MN _|_AA' , Do (*) => BC _|_MN 
=> MN là đường vuông góc chung AA' và BC 
Do A'AO = 30 => MN = AM.sin 30 = AM/2 
mà AM = AB.sin^ABC = AB.sin30 = AB/2 = 2a 
=> MN =a