Question

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông. Tam giác A'AC vuông cân A'C=a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB'C' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD') theo a.

Answer 1

Tam giác A'AC vuông cân tai A và A'C=a nên A'A=AC=\(\frac{a}{\sqrt{2}}\)

Do đó : \(AB=B'C'=\frac{a}{2}\)

\(V_{ABB'C}=\frac{1}{3}B'C'.S_{\Delta ABB'}=\frac{1}{6}B'C'.AB.BB'=\frac{a^3\sqrt{2}}{48}\)

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác A'AB. Ta có

\(\begin{cases}AH\perp A'B\\AB\perp BC\end{cases}\)\(\Rightarrow AH\perp\left(A'BC\right)\)

Nghĩa là \(AH\perp\left(BCD'\right)\Rightarrow AH=d\left(A,\left(BCD'\right)\right)\)

Ta có :

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AA'^2}\)

Do đó \(d\left(a,\left(BCD'\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)

Answer 2