Chương 1: KHỐI ĐA DIỆN

NH

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat{BAD}=120^o\). Biết \(SA\perp BD,SB\perp AD\) và (SBD) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc \(60^o\). Lấy H đối xứng với C qua A.

a) Tính \(V_{S.ABCD}\)

b) Gọi các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SC, SD sao cho \(SM=\dfrac{a\sqrt{43}}{4};SN=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}\). Tính \(V_{AMND}\).

NL
24 tháng 3 2022 lúc 11:19

\(\widehat{BAD}=120^0\Rightarrow\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABC và ACD là các tam giác đều

\(AH=AC\Rightarrow AH=AC=AB\Rightarrow\Delta HBC\)  vuông tại B

\(\Rightarrow HB\perp BC\Rightarrow HB\perp AD\)

Qua H kẻ đường thẳng \(d\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow S\in d\)

Gọi O là giao điểm AC và BD, do góc giữa (SBD) và đáy bằng 60 độ

\(\Rightarrow\widehat{SOH}=60^0\)

\(\Rightarrow SH=OH.tan60^0=\left(AH+AO\right).tan60=\left(a+\dfrac{a}{2}\right).tan60^0=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\)

\(V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}.2.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3a^3}{4}\)

 

Bình luận (0)
NL
24 tháng 3 2022 lúc 11:19

b.

\(SC=\sqrt{SH^2+HC^2}=\sqrt{SH^2+\left(2AC\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{43}}{2}\)

\(\Rightarrow M\) là trung điểm SC \(\Rightarrow AM\) là đường trung bình tam giác SHC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM||SH\Rightarrow AM\perp\left(ABCD\right)\\AM=\dfrac{1}{2}SH=\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}\end{matrix}\right.\)

\(HD=\sqrt{OD^2+OD^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow SD=\sqrt{SH^2+HD^2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{2}\Rightarrow SN=\dfrac{1}{3}SD\Rightarrow ND=\dfrac{2}{3}SD\)

\(\Rightarrow d\left(N;\left(MAD\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(S;\left(MAD\right)\right)\)

Mà \(SH||\left(MAD\right)\Rightarrow d\left(S;\left(MAD\right)\right)=d\left(H;\left(MAD\right)\right)\)

Gọi E là giao điểm BH và AD, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}HB\perp AD\left(cmt\right)\\AM\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AM\perp HB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow HB\perp\left(MAD\right)\)

\(\Rightarrow HE=d\left(H;\left(MAD\right)\right)\)

\(HE=\dfrac{1}{2}HB=\dfrac{1}{2}HD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(N;\left(MAD\right)\right)=\dfrac{2}{3}HE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow V_{AMND}=\dfrac{1}{3}.d\left(N;\left(MAD\right)\right).\dfrac{1}{2}AM.AD=\dfrac{a^3}{8}\)

Bình luận (0)
NL
24 tháng 3 2022 lúc 11:21

undefined

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
PD
Xem chi tiết
PG
Xem chi tiết
DN
Xem chi tiết
TS
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
VL
Xem chi tiết
DA
Xem chi tiết
TP
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết