Cho hàm số y=f(x) có các đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai liên tục trên [0;1] và thỏa mản hệ thức \(\int\limits^1_0e^xf\left(x\right)dx=\int\limits^1_0e^xf'\left(x\right)dx=\int\limits^1_0e^xf''\left(x\right)dx\ne0\). Tính giá trị của biểu thức:\(\frac{ef'\left(1\right)-f'\left(0\right)}{ef\left(1\right)-f\left(0\right)}\)
Xét tích phân \(I=\int\limits^1_0e^xf\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=e^x.f\left(x\right)|^1_0-\int\limits^1_0e^xf'\left(x\right)dx=e.f\left(1\right)-f\left(0\right)-I\)
\(\Rightarrow2I=e.f\left(1\right)-f\left(0\right)\)
Xét tích phân \(J=\int\limits^1_0f'\left(x\right)dx=I\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f'\left(x\right)\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f''\left(x\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=J=e^x.f'\left(x\right)|^1_0-\int\limits^1_0e^x.f''\left(x\right)dx=e.f'\left(1\right)-f'\left(0\right)-I\)
\(\Rightarrow2I=e.f'\left(1\right)-f'\left(0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{e.f'\left(1\right)-f'\left(0\right)}{e.f\left(1\right)-f\left(0\right)}=\frac{2I}{2I}=1\)