Chú ý rằng nếu \(x+y+z=0\) thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz.\).
Nếu vậy : \(x+y+z=0\) \(\Rightarrow z=-\left(x+y\right).\)
Do đó : \(x^3+y^3+z^3=x^3+y^3-\left(x+y\right)^3=-3x^2y-3xy^2=-3xy\left(x+y\right)=3xyz\)
Từ đây có thể suy ra :
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)\)
Áp dụng nhận xét trên,ta có :
Nếu \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) thì \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}.\)
Do đó : \(N=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}\)
\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=abc.\frac{3}{abc}=3\) với \(a,b,c\ne0\).