Tự vẽ hình
a) Ta có : \(\widehat{ACD}\) = 600 ( tính chất tam giác đều )
\(\widehat{ACE}=\widehat{ACD}+\widehat{DCE}\)
=> \(\widehat{ACE}=60^0+\widehat{DCE}\)
\(\widehat{BCE}\) = 600 ( tính chất tam giác đều )
\(\widehat{DCB}=\widehat{DCE}+\widehat{BCE}=60^0+\widehat{DCE}\)
Do đó : \(\widehat{ACE}=\widehat{DCB}=60^0+\widehat{DCE}\)
Xét \(\Delta\) ACE và \(\Delta\) DCB có :
AC = DC (tính chất tam giác đều )
\(\widehat{ACE}=\widehat{DCB}\) (chứng minh trên )
CE = CB ( tính chất tam giác đều )
=> \(\Delta\) ACE = \(\Delta\) DCB ( c-g-c )
=> AE = BD ( cặp cạnh tương ứng )
b) Vì M là trung điểm của AE
=> AM = ME = \(\frac{1}{2}\).AE (1)
Vì N là trung điểm của BD
=> BN = DN = \(\frac{1}{2}\). BD (2)
Theo câu a : AE = BD (3)
Từ (1),(2),(3) ta có : ME = BN
Theo câu a : \(\Delta\) ACE = \(\Delta\) DCB
=> \(\widehat{AEC}=\widehat{DBC}\) ( cặp góc tương ứng )
Xét \(\Delta\) CME và \(\Delta\) CNB có :
ME = NB ( chứng minh trên )
\(\widehat{MEC}=\widehat{NBC}\) ( chứng minh trên )
CE = CB ( tính chất tam giác đều )
=> \(\Delta\) CME = \(\Delta\) CNB ( c-g-c)
c) Theo câu b : \(\Delta\) CME = \(\Delta\) CNB
=> MC = NC (4)
và \(\widehat{MCE}=\widehat{NCB}\)
Ta có : \(\widehat{MCN}=\widehat{MCE}+\widehat{NCE}\)
mà \(\widehat{MCE}=\widehat{NCB}\)
=> \(\widehat{MCN}=\widehat{NCB}+\widehat{NCE}=\widehat{BCE}\)
mà \(\widehat{BCE}=60^0\) ( tính chất tam giác đều )
=> \(\widehat{MCN}=60^0\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra : \(\Delta\) MNC là tam giác đều
=> ĐPCM
