Cho \(\Delta ABC,\widehat{A}=120^O\). Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau ở O, cắt các cạnh BC và AC lần lượt ở D vả E. Đường phân giác của góc ngoài đỉnh B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại F.Chứng minh:
a) \(BO\perp BF\)
b) \(\widehat{BDF}=\widehat{ADF}\)
c) Ba điểm D,E,F thẳng hàng
a, Ta có:
Trong \(\Delta ABC\) có AD là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
CE là phân giác của \(\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\) BO là phân giác \(\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)
Ta có: BF là phân giác của \(\widehat{ABx}\)
\(\Rightarrow\widehat{B_3}=\widehat{B_4}\)
Có: \(\widehat{B_1}+\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{B_4}=180^0\)(\(\widehat{xBC}\) là góc bẹt)
Hay \(\widehat{B_1}+\widehat{B_1}+\widehat{B_3}+\widehat{B_3}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{2B_1}+\widehat{2B_3}=180^0\)
\(\Rightarrow2.\left(\widehat{B_1}+\widehat{B_3}\right)=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{B_3}=\dfrac{180^0}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=90^0\)
Hay \(\widehat{FBD}=90^0\)
\(\Rightarrow BO\perp BF\)
b, Ta có:
\(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}\)
Hay: \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}120^0=60^0\)
Lại có: \(\widehat{A_3}+\widehat{BAC}=180^0\)( 2 góc kề bù)
Hay: \(\widehat{A_3}+120^0=180^0\)
\(\widehat{A_3}=180^0-120^0\)
\(\widehat{A_3}=60^0\)
Vẽ Ay là tia đối AD
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_4}\)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_3}=\widehat{A_4}=60^0\)
\(\Rightarrow\) AF là tia phân giác \(\widehat{FAy}\) (\(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\))
Ta có: \(\widehat{B_3}=\widehat{B_4}\) ( BF là đường phân giác \(\widehat{xBA}\)) (gt)
Mà: F là giao điểm 2 tia phân giác AF; BE
\(\Rightarrow\) DF là tia phân giác \(\widehat{BDA}\)
\(\Rightarrow\widehat{BDF}=\widehat{ADF}\)
sao lại cắt các cạnh BC và AC lần lượt ở D và E