Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Hai đường trung tuyến BN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) BN = CM và \(\Delta IBC\) là tam giác cân
b) Điểm I cách đều 2 cạnh AB và AC
c) AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC
d) Từ B vẽ tia \(Bx\perp AB\) tại B và từ C vẽ tia \(Cy\perp AC\) tại C. Bx và Cy cát nhau tại K. Chứng minh 3 điểm A; I; K thẳng hàng
e) Giả sử góc BAC = 60 độ; CA = CB = 8cm. Tính độ dài AI
a: Xét ΔMBC và ΔNCB có
MB=NC
\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)
BC chung
Do đo: ΔMBC=ΔNCB
Suy ra: CM=BN và \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)
hay ΔIBC cân tại I
b: Gọi IE,IK lần lượt là khoảng cách từ I đến AB và AC
=>IE vuông góc với AB, IK vuông góc với AC
Xét ΔAEI vuông tại E và ΔAKI vuông tại K có
AI chung
\(\widehat{EAI}=\widehat{KAI}\)
Do đó: ΔAEI=ΔAKI
Suy ra: IE=IK
c: Ta có: AB=AC
IB=IC
Do đó: AI là đường trung trực của BC(1)
d: Xét ΔABK vuông tại B và ΔACK vuông tại C có
AK chung
AB=AC
Do đó: ΔABK=ΔACK
Suy ra: BK=CK
=>K nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,I,K thẳng hàng