Question

Cho đa thức: \(B=\dfrac{x^5}{30}-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{2x}{15}\). CM: B luôn nhận giá trị nguyên khác 17 với mọi giá trị nguyên của x

 

Answer 1

\(B=\dfrac{x^5-5x^3+4x}{30}=\dfrac{x\left(x^4-5x^2+4\right)}{30}=\dfrac{x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)}{30}=\dfrac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{30}=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{30}\).

Xét x nguyên. Trong 5 số x - 2, x - 1, x, x + 1, x + 2 tồn tại 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3, 1 số chia hết cho 5.

Do đó (x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2) luôn nguyên với mọi x nguyên.

Mặt khác tồn tại 2 số trong 5 số x - 2, x - 1, x, x + 1, x + 2 chia hết cho 2 mà 30 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên B chia hết cho 2.

Vậy B khác 17 với mọi x nguyên.