Question

Cho (d): 2(m-1)x+(m-2)y=2

Tìm m để (d) cách gốc tọa độ 1 khoảng lớn nhất

Answer 1

ĐK m≠2

Đưa (d) về dạng: (d):y=\(\dfrac{-2\left(m-1\right)}{m-2}\)+\(\dfrac{2}{m-2}\)ta có:

(d) cắt Ox tại: A\((\dfrac{1}{m-1};0)\); cắt Oy tại B\((O;\dfrac{2}{m-2})\)

Áp dụng hệ thức lượng giác trong Δ vuông:

\(\dfrac{1}{AH^2}\)=(m-1)²+(m-2)²⇒AH=\(\sqrt{\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2+\left(m-2\right)^2}}\)

để AH lớn nhất⇔ (m-2)²+(m+2)² nhỏ nhất

⇔2m²-6m+5 nhỏ nhất⇔ 2 (m²-3m+\(\dfrac{9}{4}\))\(\dfrac{1}{2}\)nhỏ nhất

⇔2(m-\(\dfrac{3}{2}\))²+\(\dfrac{1}{2}\) nhỏ nhất⇔m=\(\dfrac{3}{2}\)

Vậy m=\(\dfrac{3}{2}\)