Question

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

a, \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

b, \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Answer 1

a)

Do a,b,c > 0

nên áp dụng BĐT Svacxo ta được :

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\) ( đpcm )

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

b)

Do a,b,c > 0

nên áp dụng BĐT Svacxo ta được :

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\) ( đpcm )

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)