Câu hỏi của ๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG

Question

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. CMR:

$\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}\ge12$

Trần Quốc Khanh · Accepted Answer

Với a,b,c>0.Áp dụng BĐT Shwars có :

$\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\left(1\right)$

Ta có $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$( dễ dàng cm)

$\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)$

$\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=36$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge12$

Vậy Ta có VP của (1) $\ge\frac{12.12}{2.6}=12$$\RightarrowĐPCM$Câu trả lời: Với a,b,c>0.Áp dụng BĐT Shwars có :

$\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\left(1\right)$

Ta có $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$( dễ dàng cm)

$\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)$

$\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=36$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge12$

Vậy Ta có VP của (1) $\ge\frac{12.12}{2.6}=12$$\RightarrowĐPCM$

Violympic toán 8