Đặt\(S_{AMD}+S_{BPC}+S_{ABN}+S_{CDQ}=P\)
\(S_{AEHQ}+S_{MBFE}+S_{NCGF}+S_{PDHG}=Q\)
\(2S_{ABCD}-\left(P+Q\right)=2S_{EFGH}\)
Xét M là trung điêm AB nên:
\(\frac{S_{AMD}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{4}\)(1)
Tương tự:\(\frac{S_{BPC}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{ABN}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{CDQ}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{4}\)(2)
Từ (1),(2) ta có:\(S_{AMD}+S_{BPC}+S_{ABN}+S_{CDQ}=P=S_{ABCD}\)
Tách \(P=\left(S_{DHQ}+S_{AEHQ}+S_{AME}\right)+\left(S_{AME}+S_{MBFE}+S_{BNF}\right)\)
\(+\left(S_{BNF}+S_{CGFN}+S_{CPG}\right)+\left(S_{CPG}+S_{PDHG}+S_{DQH}\right)\)
\(P=2\left(S_{AME}+S_{BFN}+S_{CPG}+S_{DGH}\right)+Q\)(3)
Xét tam giác DAE có :Q là trung điểm AD,AH//AE nên QH là đường trung bình ứng với cạnh AE \(\Rightarrow S_{QHD}=\frac{1}{3}S_{AEHQ}\)
Tương tự:\(S_{AME}=\frac{1}{3}S_{MBFE};S_{BFN}=\frac{1}{3}S_{CGFN};S_{CPG}=\frac{1}{3}S_{PDHG}\)
Thay vào (3):
\(P=\frac{2}{3}.Q+Q=\frac{5}{3}Q\Leftrightarrow Q=\frac{3}{5}P=\frac{3}{5}S_{ABCD}\)
Thay vào biểu thức ở đầu bài:
\(S_{EFGH}=\frac{2S_{ABCD}-\left(S_{ABCD}+\frac{3}{5}S_{ABCD}\right)}{2}=\frac{S_{ABCD}}{5}\) (ĐPCM)
Gọi Sx = Shbh cần tính EFGH có:
Sx = Sabcd - 2Sadm -2Smbne (1)
ta lại có: 2Smbfe = 2(3/2)Sx ( vì BF =2ME) (2)
từ (1) và (2) => Sabcd/2 = (1+3/2)Sx => Sx = (Sabcd/2): (1+3/2) = Sabcd/5
=>
