Question

Cho : a;b;c;d \(\in\) Z và a+b+c chia hết cho 6 . Cm : a³ +b³ + c³ chia hết cho 6

Answer 1

Ta có : \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên trong 3 số nguyên liên tiếp tồn tại 1 bội số của 2 và 3

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮2;3\)

Mà \(\left(2,3\right)=1\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)

\(\Rightarrow a^3-a⋮6\left(1\right)\)

CMTT , ta có : \(b^3-b⋮6;c^3-c⋮6\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 )

\(\Rightarrow a^3-a+b^3-b+c^3-c⋮6\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\)

Mà \(a+b+c⋮6\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\left(đpcm\right)\)