Question

cho ▲ ABC vuông tại A,có AB<AC,vẽ AH┸BC(H thuộc BC),trên cạnh HC lấy điểm M sao cho HM=HA.Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh BC cắt AC tại I.Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh BC cắt tia phân giác của góc IMC tại K.Chứng minh H,I,K thẳng hàng

Answer 1

Lời giải:

$AH\perp BC, CK\perp BC; MI\perp BC$ nên $AH\parallel CK\parallel MC$. Áp dụng định lý Ta-let:

$\frac{MI}{AH}=\frac{MC}{HC}(1)$

Mà:

$AH=HM(2)$ (gt)

$MK$ là tia phân giác của $\widehat{IMC}$ nên $\widehat{KMC}=\frac{1}{2}\widehat{IMC}=45^0$

Tam giác vuông $CMK$ có 1 góc $\widehat{KMC}=45^0$ nên là tam giác vuông cân tại $C$. Do đó $CM=CK(3)$

Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow \frac{MI}{HM}=\frac{CK}{HC}$

$\Rightarrow \triangle HMI\sim \triangle HCK$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{IHM}=\widehat{KHC}=\widehat{KHM}$

$\Rightarrow H,I,K$ thẳng hàng (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: