Cho ABC vuông tại A(AB>AC), đường cao AH. Từ H kẻ HM AC và trên tia HM lấy điểm E sao cho MH = EM. Kẻ HN vuông góc AB và trên tia HN lấy điểm D saochoNH=DN.
a. Chứng minh : DAN = HAN
b. Chứng minh : DA = AE
c. Chứng minh: ba điểm D, A, E thẳng hàng.
d.GiảsửchoNH=3cm;HM= 2,5cm.TínhđộdàiđoạnthẳngDE?
Trả lời nhanh giúp mình nha . Trả lời sai cũng được nhưng ko ngắn quá . Đều cho 5s
a) Xét ΔDAN vuông tại N và ΔHAN vuông tại N có
DN=HN(gt)
AN là cạnh chung
Do đó: ΔDAN=ΔHAN(hai cạnh góc vuông)
b) Ta có: ΔDAN=ΔHAN(cmt)
⇒AD=AH(hai cạnh tương ứng)(1)
Xét ΔAME vuông tại M và ΔAMH vuông tại M có
ME=MH(gt)
MA là cạnh chung
Do đó: ΔAME=ΔAMH(hai cạnh góc vuông)
⇒AE=AH(hai cạnh tương ứng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AE=AD
c) Xét ΔEAH có AE=AH(cmt)
nên ΔAEH cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
mà AM là đường cao ứng với cạnh đáy EH(AM⊥EH)
nên AM cũng là đường phân giác ứng với cạnh EH(định lí tam giác cân)
⇒AM là tia phân giác của \(\widehat{EAH}\)
hay \(\widehat{EAM}=\widehat{HAM}\)
Xét ΔAHD có AD=AH(cmt)
nên ΔAHD cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
mà AN là đường cao ứng với cạnh đáy HD(AN⊥HD)
nên AN cũng là đường phân giác ứng với cạnh HD(định lí tam giác cân)
⇒AN là tia phân giác của \(\widehat{HAD}\)
hay \(\widehat{DAN}=\widehat{HAN}\)
Ta có: \(\widehat{HAM}+\widehat{HAN}=\widehat{MAN}=\widehat{BAC}=90^0\)(tia AH nằm giữa hai tia AB,AC; M∈AC; N∈AB)
Ta có: \(\widehat{EAD}=\widehat{MAE}+\widehat{MAH}+\widehat{NAD}+\widehat{NAH}\)
⇔\(\widehat{EAD}=2\cdot\widehat{HAM}+2\cdot\widehat{HAN}\)
⇔\(\widehat{EAD}=2\cdot\left(\widehat{HAM}+\widehat{HAN}\right)\)
⇔\(\widehat{EAD}=2\cdot90^0=180^0\)
⇔D,A,E thẳng hàng
d)
Ta có: D,A,E thẳng hàng(cmt)
mà AE=AD(cmt)
nên A là trung điểm của DE
Xét ΔEHD có
HA là đường trung tuyến ứng với cạnh DE(A là trung điểm của DE)
\(HA=\frac{DE}{2}\)(=AE)
Do đó: ΔEHD vuông tại H(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
Áp dụng định lí pytago vào ΔMHN vuông tại H, ta được
\(MN^2=MH^2+HN^2\)
hay \(MN^2=2,5^2+3^2=15.25cm\)
⇔\(MN=\frac{\sqrt{61}}{2}\)
Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{MAN}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), M∈AC, N∈AB)
\(\widehat{ANH}=90^0\)(HN⊥AB)
\(\widehat{AMH}=90^0\)(HM⊥AC)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒AH=MN(hai đường chéo trong hình chữ nhật AMHN)
mà \(MN=\frac{\sqrt{61}}{2}\)(cmt)
nên \(AH=\frac{\sqrt{61}}{2}\)
Ta có: \(AH=\frac{DE}{2}\)(=AD)
hay \(DE=2\cdot AH\cdot2\cdot\frac{\sqrt{61}}{2}=\sqrt{61}cm\)
Vậy: \(DE=\sqrt{61}cm\)