Question

cho a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt[3]{ab+bc+ca}\)

chứng minh rằng a+b+c\(\le\sqrt{3}\)

Answer 1

Lời giải:

Từ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt[3]{ab+bc+ac}\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3=(ab+bc+ac)^2\) (mũ $6$)

Mặt khác, theo hệ quả của BĐT AM-GM thì \(ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\)

Do đó, \((a^2+b^2+c^2)^3=(ab+bc+ac)^2\leq (a^2+b^2+c^2)^2\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2[(a^2+b^2+c^2)-1]\leq 0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 1\)

Theo BĐT AM-GM: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\leq 3\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\leq \sqrt{3}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)