Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
$\frac{a^2}{2}+8b^2\geq 2\sqrt{4a^2b^2}=2|2ab|\geq 4ab$
$\frac{a^2}{2}+8c^2\geq 2|2ac|\geq 4ac$
$2b^2+2c^2\geq 2\sqrt{4b^2c^2}=2|2bc|\geq 4bc$
Cộng theo vế các BĐT trên:
$\Rightarrow a^2+10b^2+10c^2\geq 4(ab+bc+ac)=4$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=4b=4c=\pm \frac{4}{3}\)
a2 + b2 + c2-ab-bc-ca = 0, hãy chứng minh rằng a = b = c.
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
1. Cho f(x) là đa thức bậc 2 và a, b, c là 3 số thực phân biệt thỏa mãn f(a)=bc, f(b)=ca, f(c)=ab. Chứng minh rằng f(a+b+c)=ab+bc+ca.
2. Giả sử a, b, c, d là 2 trong 4 nghiệm của P(x)=\(x^4+x^3-1\), chứng minh rằng ab là nghiệm của \(x^6+x^4+x^3-x^2-1\)
Em xin cảm ơn!
Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng: \(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}< =\frac{1}{4}\)
cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 chứng minh rằng\(ab+bc+ca\le0\)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\(\le\) 4.
Chứng minh rằng: ab+1/(a+b)^2+bc+1/(b+c)^2+ca+1/(c+a)^2 \(\ge\) 3
Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1.
Chứng minh rằng: P=(1+a2)(1+b2)(1+c2) là số chính phương.
cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh a-b/1+c^2 + b-c/1+a^2 + c-a/1+b^2 = 0
Bài 1 :
a) Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\) . Chứng minh rằng a = b = c
b) Cho a , b , là ba số thực thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
c) Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3abc\) . Liệu có thể khẳng định rằng a + b + c = 0
