Question

Cho a,b,c là 3 số dương và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}\)

Chứng minh rằng:\(\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}\ge4\)

Answer 1

giả sử \(\dfrac{a+b}{2a-b}\dfrac{c+b}{2c-b}< 4\)

\(< =>\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}-4< 0\)

\(< =>\dfrac{2ac-ab+2bc-b^2+2ac-bc+2ab-b^2-2bc+4b^2+4ac-2ab}{4ac-2ab-2bc+b^2}< 0\)

<=> \(\dfrac{8ac-bc-ab+2b^2}{4ac-2\left(ab+bc\right)+b^2}< 0\)

\(\left(do\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}< =>\dfrac{a+c}{ac}=\dfrac{2}{b}< =>ab+bc=2ac\right)\)

<=> \(\dfrac{8ac-2ac+2b^2}{b^2}< 0< =>\dfrac{6ac+2b^2}{b^2}< 0\)

mà a,b,c là số dương theo giả thiết nên \(\dfrac{6ac+2b^2}{b^2}\)không thể bé hơn 0

=> giả sử sai => \(\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}-4\) phải lớn hơn hoặc bằng 0

=> \(\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}\) lớn hơn hoặc bằng 4 (Đpcm)