Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

UK

Cho a,b,c là 3 số dương có tích là 1. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{\left(bc-a^2\right)\left(b-c\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{\left(ac-b^2\right)\left(c-a\right)^2}{\left(b^2+a^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{\left(ab-c^2\right)\left(a-b\right)^2}{\left(c^2+a^2\right)\left(c^2+b^2\right)}+6\ge\dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}\)

@Akai Haruma @Hung nguyen @Ace Legona @Phương An :v Tag mãi mà không được, ai ngang qua hộ đêy

H24
26 tháng 11 2017 lúc 19:59

By AM-GM: \(3\le ab+bc+ca\)

Ta có: \(6-\dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}=6.\left(1-\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}\right)=\dfrac{6\left(a^2+b^2+c^2-3\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{6\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{a^2+b^2+c^2}=3\sum\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Giờ ta chỉ việc chứng minh

\(\sum\dfrac{\left(ab-c^2\right)\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)\left(c^2+b^2\right)}+\sum\dfrac{3\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(a-b\right)^2\left[\dfrac{ab\left(a^2+b^2+ab\right)+2\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\right]\ge0\)(đúng)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Bình luận (5)
UK
26 tháng 11 2017 lúc 18:25

@Akai Haruma @TFBoys @Hà Nam Phan Đình @Mei Sama (Hân) @Ace Legona @Hung nguyen.........

Bình luận (0)
NT
26 tháng 11 2017 lúc 20:50

t ko onl nữa đâu đừng có mà nhờ, nick chính do con gà khác onl rồi

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
H24
Xem chi tiết
DT
Xem chi tiết
HO
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
ZZ
Xem chi tiết
RT
Xem chi tiết
QD
Xem chi tiết
SV
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết