Question

Cho △ABC, có AB>AC. Kẻ tia phân giác AD của góc A( D∈BC) trên đoạn AD lấy điểm E tùy ý. Chứng minh: AB-AC > EB-EC

Answer 1

Xét \(\Delta ABC\) có \(AB>AC\)

nên trên cạnh AB ta lấy điểm H sao cho AC = AH và H nằm giữ A và B

Xét \(\Delta ACE;\Delta AHE\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AH\\\widehat{BAD}=\widehat{DAH}\\AEchung\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta ACE=\Delta AHE\left(c-g-c\right)\)

\(\Leftrightarrow EC=EH\)

Xét \(\Delta HEB\) có :

\(HB>EB-EH\) (Hệ quả BĐT trong tam giác)

Mà \(EC=EH\)

\(\Leftrightarrow HB>EB-EC\left(1\right)\)

Lại có : \(AH+HB=AB\)

\(\Leftrightarrow HB=AB-AH\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow EB-BE< AB-AH\)

Mà \(AC=AH\)

\(\Leftrightarrow EC-EB=AB-AC\left(đpcm\right)\)